作业帮三角函数 sin 54° 和 cos 54°这两个数分别等于多少?S（正五角星）=5×sin54°×(1-cos54°)×边长²这个公式怎么简化?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 09:51:31
三角函数 sin 54° 和 cos 54°这两个数分别等于多少?S（正五角星）=5×sin54°×(1-cos54°)×边长²这个公式怎么简化?
三角函数 sin 54° 和 cos 54°这两个数分别等于多少?
S（正五角星）=5×sin54°×(1-cos54°)×边长²
这个公式怎么简化?
三角函数 sin 54° 和 cos 54°这两个数分别等于多少?S（正五角星）=5×sin54°×(1-cos54°)×边长²这个公式怎么简化?
三角函数 sin 54° 和 cos 54°这两个数分别等于多少?
∵sin54°=cos36°,即有sin(3×18°)=cos(2×18°),∴有3sin18°-4sin³18°=1-2sin²18°
于是得4sin³18°-2sin²18°-3sin18°+1=0
配方得4sin²18°(sin18°-1)+2sin18°(sin18°-1)-(sin18°-1)=(sin18°-1)(4sin²18°+2sin18°-1)=0
sin18°-1≠0,故必有4sin²18°+2sin18°-1=0；∴sin18°=(-2+√20)/8=(-1+√5)/4
cos18°=√[(√5-1)²/16]=√[(5+√5)/8]
∴sin54°=3(-1+√5)/4-4[(-1+√5)/4]³=[(√5-1)/4][3-(√5-1)²/4]=[(√5-1)/4][(3+√5)/2]=(√5+1)/4
cos54°=√[1-(√5+1)²/16]=[√(10-2√5)]/4
首先需要计算出sin18º
令：18º=A， 5*18º=90º， 5A=90º 3A+2A=90º
3A=90º-2A
sin3A=sin(90º-2A)=cos2A
(左边三倍角公式，右边二倍角公式）
3sinA-4(sinA)^3=1-2(sinA)^2
4...
全部展开
首先需要计算出sin18º
令：18º=A， 5*18º=90º， 5A=90º 3A+2A=90º
3A=90º-2A
sin3A=sin(90º-2A)=cos2A
(左边三倍角公式，右边二倍角公式）
3sinA-4(sinA)^3=1-2(sinA)^2
4(sinA)^3-2(sinA)^2-3sinA+1=0
令:x=sinA
4x^3-2x^2-3x+1=0
(x-1)(4x^2+2x-1)=0
A为锐角，x=sinA 0
x=(-2±√20)/8=(-1±√5)/4
x=(-1+√5)/4
即sinA=sin18º=(-1+√5)/4
cos18º 可求
sin54º=(3*18º)=3sin18º-4(sin18º)^3 可求；
cos54º可求。
如果不计算cos54º,也可以。sin54ºcos54º=(1/2)sin108º=(1/2)cos18º.代入即可计算出最后结果。
另外，sin3A=(2A+A)=sin2AcosA+cos2AsinA
=2sinAcosAcosA+[1-2(sinA)^2]siA
=2sinA[1-(sinA)^2]+sinA-2(sinA)^2
=2sinA-2(sinA)^3+sinA-2(sinA)^3
=3sinA-4(sinA)^3
即sin3A=3sinA-4(sinA)^3
同样可以证明：
cos3A=-3cosA+4(cosA)^3
留给你作为练习了。
请记住这里的三倍角公式及证明。
收起
54°不是特殊角算不出来