已知x∈Z,求证|x-1|+|x-2|+.|x-100|的最小值

已知x∈Z,求证|x-1|+|x-2|+.|x-100|的最小值
已知x∈Z,求证|x-1|+|x-2|+.|x-100|的最小值

已知x∈Z,求证|x-1|+|x-2|+.|x-100|的最小值
用数轴的思想考虑~~
|x-1|代表 x到1的距离
|x-100|代表 x到100的距离
原题
即求一点x
到1-100
的距离最小
没错把
这点理解了之后
我们看
|x-1|+|x-2|最小值
即点x到1和2距离最小值
不难求出
x∈〔1,2〕有最小值1
同理
|x-1|+|x-100|最小值
为99 x∈〔1,100〕
|x-2|+|x-99|最小值
为97 x∈〔2,99〕
...
|x-50|+|x-51|最小值
为1 x∈〔50,51〕
综上所述
|x-1|+|x-2|+.|x-100|的最小值
=1+3+...+99=2500 x=50或51
(楼上 你们怎么就确定是50乐 还有51 一楼大哥 没看见整数吗)

|x-1|+|x-2|+......|x-100|理解为数轴上点x到1,2,...,100的距离和
显然,x在0与100的中点时,距离和最小
所以,|x-1|+|x-2|+......|x-100|的最小值
=(50-1)+(50-2)+...+(50-49)+(50-50)
+(51-50)+(52-50)+...+(100-50)
...

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|x-1|+|x-2|+......|x-100|理解为数轴上点x到1,2,...,100的距离和
显然,x在0与100的中点时,距离和最小
所以,|x-1|+|x-2|+......|x-100|的最小值
=(50-1)+(50-2)+...+(50-49)+(50-50)
+(51-50)+(52-50)+...+(100-50)
=49+48+...+1+0+1+...+49+50
=2*49*50/2+50
=49*50+50
=50*50
=2500

收起

x=50的时候取到最小值
最小值是(1+2+3+4+...+49)*2+50+0=2500

|x-1|+|x-2|+......|x-100|<=|(x-1)+(x-2)+......(x-50)-(x-51)-(x-52)-......-(x-100)|=（51+…+100）-（1+…+50）=2500
等号在x取50.5可取得。

|x-1|+|x-2|+......|x-100| >=|(x-1)+(x-2)+......(x-50)-(x-51)-(x-52)-......-(x-100)|=（51+…+100）-（1+…+50）=2500
等号在x = 50 或 x = 51 获得， x∈Z，如果没有这个条件就是在[50，51]的闭区间的所有实数都对。
1楼的方法正确。但是错了一个符号。是>=,不是<...

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|x-1|+|x-2|+......|x-100| >=|(x-1)+(x-2)+......(x-50)-(x-51)-(x-52)-......-(x-100)|=（51+…+100）-（1+…+50）=2500
等号在x = 50 或 x = 51 获得， x∈Z，如果没有这个条件就是在[50，51]的闭区间的所有实数都对。
1楼的方法正确。但是错了一个符号。是>=,不是<=
还有，如果没有 x∈Z 的限制，也不是50.5，而是[50，51]的闭区间的所有实数。 加了这限制后，就只有x = 50 或 x = 51两个点了。

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=(50-1)+(50-2)+...+(50-49)+(50-50)
+(51-50)+(52-50)+...+(100-50)
=49+48+...+1+0+1+...+49+50
=2*49*50/2+50
=49*50+50
=50*50
=2500

在|x-a|=0,1,2,3....49中|x-a|=0的x只有1个,即x=a,|x-a|=1的x只有两个，即x=a+1,a-1,|x-a|=2的x也只有两个,即x=a+2,a-2，要使|x-1|+|x-2|+|x-3|+....|x-100|最小，则0出现1个，1出现2个，2出现2个，．．．．．49出现2个，50出现1个．|x-1|+|x-2|+|x-3|+......|x-100|的最小值＝2...

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在|x-a|=0,1,2,3....49中|x-a|=0的x只有1个,即x=a,|x-a|=1的x只有两个，即x=a+1,a-1,|x-a|=2的x也只有两个,即x=a+2,a-2，要使|x-1|+|x-2|+|x-3|+....|x-100|最小，则0出现1个，1出现2个，2出现2个，．．．．．49出现2个，50出现1个．|x-1|+|x-2|+|x-3|+......|x-100|的最小值＝2＊（1＋2＋3＋.....49)+50=50*49+50=50*50=2500。此时x=50或51.

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