作业帮请教强人数学不等式证明题1.已知a,b,c属于正实数且a+b+c=1.求证：(根号下3a+2)+(根号下3b+2)+(根号下3c+2)≤3倍的根号3
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 23:44:28
请教强人数学不等式证明题1.已知a,b,c属于正实数且a+b+c=1.求证：(根号下3a+2)+(根号下3b+2)+(根号下3c+2)≤3倍的根号3
请教强人数学不等式证明题
1.已知a,b,c属于正实数且a+b+c=1.求证：(根号下3a+2)+(根号下3b+2)+(根号下3c+2)≤3倍的根号3
请教强人数学不等式证明题1.已知a,b,c属于正实数且a+b+c=1.求证：(根号下3a+2)+(根号下3b+2)+(根号下3c+2)≤3倍的根号3
(a+b+c)^2≤3(a^2+b^2+c^2)
[(根号下3a+2)+(根号下3b+2)+(根号下3c+2)]^2
≤3[(3a+2)+(3b+2)+(3c+2)]
=3[3(a+b+c)+6]
=3*9
(根号下3a+2)+(根号下3b+2)+(根号下3c+2)≤3倍的根号3
由基本不等式：算术平均不大于平方平均：(x+y+z)/3≤√[(x^2+y^2+z^2)/3]
[√(3a+2)+√(3b+2)+√(3c+2)]/3≤√[(3a+2+3b+2+3c+2)/3]=√3
即
√(3a+2)+√(3b+2)+√(3c+2)≤3√3
等号当且仅当3a+2=3b+2=3c+2
即a=b=c=1/3时成立
由均值不等式
2*√3*√(3a+2)<=(√3)^2+[√(3a+2)]^2=3+3a+2=3a+5
所以√(3a+2)<=(3a+5)/(2√3)
同理
√(3b+2)<=(3b+5)/(2√3)
√(3c+2)<=(3c+5)/(2√3)
相加
√(3a+2)+√(3b+2)+√(3c+2)<=[3(a+b+c)+15]/(2√3)
a+b+c=1
所以√(3a+2)+√(3b+2)+√(3c+2)<=3√3
柯西不等式。
（√（3a+2）+√（3b+2）+√（3c+2））^2≤(1^2+1^2+1^2)*(3a+2+3b+2+3c+2)
=3*9
=27
所以√（3a+2）+√（3b+2）+√（3c+2）≤3√3