若a是自然数,则a^4-3a^2+9是质数还是合数?给出你的证明.

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 23:08:48
若a是自然数,则a^4-3a^2+9是质数还是合数?给出你的证明.

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a^4-3a^2+9
=a^4+6a^2+9-9a^2
=(a^2+3)^2-9a^2
=(a^2+3-3a)(a^2+3+3a)
a^2+3-3a
=(a-1.5)^2+0.75>0
a^2+3+3a
=(a+1.5)^2+0.75>0
所以(a^2+3-3a)和(a^2+3+3a)为两个正整数
1）a=1时
a^2+3-3a=1
a^2+3+3a=7
a^4-3a^2+9=1×7=7,为质数
2）a=2时
a^2+3-3a=1
a^2+3+3a=13
a^4-3a^2+9=1×13=13,为质数
即a=1或a=2时,a^4-3a^2+9为质数
3）a≥3时
a^2+3-3a
=(a-1.5)^2+0.75
≥1.5^2+0.57
=3
a^2+3+3a
=（a+1.5)^2+0.75
≥4.5^2+0.75
=21
即a≥3时,
a^4-3a^2+9等于两个不小于3的自然数的乘积,为合数

a=1时1楼证明失效，此时a^2+3-3a=1,原式=7为质数。

这个写了个简单的C程序，结果如下：
a=1时：7 质数
a=2时：13 质数
a=3时：63 合数
a=4时：217合数
我验证了a从3到1000都是合数
也就是说只有a=1和2是质数，具体数学证明还没想到

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