作业帮解非齐次线性方程组λ取何值时,非齐次线性方程组λx1 + x2 + x3 = 1x1 + λx2 + x3 = λx1 + x2 + λx3 = λ^2(1)有唯一解; (2)无解; (3)有无穷多个解?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/27 19:21:46
解非齐次线性方程组λ取何值时,非齐次线性方程组λx1 + x2 + x3 = 1x1 + λx2 + x3 = λx1 + x2 + λx3 = λ^2(1)有唯一解; (2)无解; (3)有无穷多个解?
解非齐次线性方程组
λ取何值时,非齐次线性方程组
λx1 + x2 + x3 = 1
x1 + λx2 + x3 = λ
x1 + x2 + λx3 = λ^2
(1)有唯一解; (2)无解; (3)有无穷多个解?
解非齐次线性方程组λ取何值时,非齐次线性方程组λx1 + x2 + x3 = 1x1 + λx2 + x3 = λx1 + x2 + λx3 = λ^2(1)有唯一解; (2)无解; (3)有无穷多个解?
系数矩阵的行列式
λ 1 1
1 λ 1
1 1 λ
= (λ+2)(λ-1)^2.
当λ≠1 且λ≠-2 时,由Crammer法则知方程组有唯一解.
当λ=1时,增广矩阵为
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
->
1 1 1 1
0 0 0 0
0 0 0 0
r(A)=r(A,b)=1
写出方程组的增广矩阵
λ 1 1 1
1 λ 1 λ
1 1 λ λ^2
将矩阵第一行和第二行交换
1 λ 1 λ
λ 1 1 1
1 1 λ λ^2
第一行乘以-λ加到第二行，得
1 λ 1 λ...
全部展开
写出方程组的增广矩阵
λ 1 1 1
1 λ 1 λ
1 1 λ λ^2
将矩阵第一行和第二行交换
1 λ 1 λ
λ 1 1 1
1 1 λ λ^2
第一行乘以-λ加到第二行，得
1 λ 1 λ
0 1-λ^2 1-λ 1-λ^2
1 1 λ λ^2
第一行乘以-1加到第三行，得
1 λ 1 λ
0 1-λ^2 1-λ 1-λ^2
0 1- λ -（1- λ） λ^2-λ
第二行除以1-λ^2，得
1 λ 1 λ
0 1 1/(1+λ) 1
0 1-λ -（1- λ） λ^2-λ
第二行乘以-（1-λ）加到第三行，得
1 λ 1 λ
0 1 1/(1+λ) 1
0 0 （λ+2）（λ-1）/(1+λ) λ^2-1
方程组有唯一解，即系数矩阵的秩等于未知数的个数，即秩r=3
所以（λ+2）（λ-1）/(1+λ) ≠0
即λ≠-1且λ≠1或λ≠-2
方程组无解，即系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩
所以（λ+2）（λ-1）/(1+λ)=0且 λ^2-1≠0
即λ=-2
方程组有无穷解，即系数矩阵的秩小于未知数的个数，即秩r<3
所以（λ+2）（λ-1）/(1+λ) =0
即 λ＝1或λ=-2（不合题意舍去，因为当λ=-2时，方程无解）
所以λ=1
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