作业帮设二维随机变量（X,Y）的概率密度函数为 f（x）={ k（3x²+xy） 0≤x≤1 1设二维随机变量（X,Y）的概率密度函数为 f（x）={ k（3x²+xy） 0≤x≤1 1≤y≤3 问题（1）：确定常数k
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 15:55:16
设二维随机变量（X,Y）的概率密度函数为 f（x）={ k（3x²+xy） 0≤x≤1 1设二维随机变量（X,Y）的概率密度函数为 f（x）={ k（3x²+xy） 0≤x≤1 1≤y≤3 问题（1）：确定常数k
设二维随机变量（X,Y）的概率密度函数为 f（x）={ k（3x²+xy） 0≤x≤1 1
设二维随机变量（X,Y）的概率密度函数为 f（x）={ k（3x²+xy） 0≤x≤1 1≤y≤3 问题（1）：确定常数k （2）：求p（X≤½ Y≤2 求p（X＜½ （4） 求P（2X+Y≤3）
设二维随机变量（X,Y）的概率密度函数为 f（x）={ k（3x²+xy） 0≤x≤1 1设二维随机变量（X,Y）的概率密度函数为 f（x）={ k（3x²+xy） 0≤x≤1 1≤y≤3 问题（1）：确定常数k
1) 根据全定义域上总积分=1
k ∫(1~3)∫(0~1) (3x²+xy) dxdy=1
∫(1~3){(x³+x²y/2)|(x:1)}dy=1/k
∫(1~3)(1+y/2)dy=1/k
y+y²/4 |(1~3)=1/k
3+9/4-1-1/4=1/k
4=1/k
k=1/4
2) P=k∫(1~2)∫(0~1/2)(3x²+xy)dxdy
=k∫(1~2){(1+y)/8} dy
=k{(1+y)²/16}|(1~2)
=5k/16
=5/64
3)这里需要把y作全定义域积分
P=k∫(1~3)∫(0~1/2)(3x²+xy)dxdy
=k∫(1~3){(1+y)/8} dy
=(16-4)/64
=12/64
=3/16
4)1<=y<=3-2x
0<=x<=1
见图中黑色区域(如果想先积x,式子带一个除以2的觉得比较讨厌)
P=k ∫(0~1)∫(1~3-2x) 3x²+xy dydx
=k ∫(0~1){3x²y+xy²/2|(1~3-2x)}dx
=k ∫(0~1) {3x²(2-2x)+x(8-12x+4x²)/2} dx
=k ∫(0~1) {6x²-6x³+4x-6x²+2x³} dx
=k ∫(0~1) {4x-4x³} dx
=k(2x²-x^4)|(0~1)
=k
=1/4