费马点的历史背景费马点被发现的历史背景.背景!在特殊三角形中寻找并验证费马点,例如,当三角形ABC是等边,等腰或直角三角形时,费马点有哪些性质.有追加分的.快.

费马点的历史背景费马点被发现的历史背景.背景!在特殊三角形中寻找并验证费马点,例如,当三角形ABC是等边,等腰或直角三角形时,费马点有哪些性质.有追加分的.快.
费马点的历史背景
费马点被发现的历史背景.
背景!
在特殊三角形中寻找并验证费马点,例如,当三角形ABC是等边,等腰或直角三角形时,费马点有哪些性质.
有追加分的.快.

费马点的历史背景费马点被发现的历史背景.背景!在特殊三角形中寻找并验证费马点,例如,当三角形ABC是等边,等腰或直角三角形时,费马点有哪些性质.有追加分的.快.
浅谈三角形的费马点
法国著名数学家费尔马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在平面上,求一点,使该点到三角形三个顶点距离之和最小．人们称这个点为“费马点”．这是一个历史名题,近几年仍有不少文献对此介绍．
本文试以课本上的习题、例题为素材,根据初中学生的认知水平,针对这个问题拟定一则思维训练材料,引导学生通过自己的思维和学习,初步了解这个问题的产生、形成、推理和论证过程及应用．
1．三角形的费马点
已知：如图1,ΔABD、ΔAEC都是等边三角形．求证：BE=DC．
这个题目证明比较容易,下面提几个问题供同学们思考．
思考1 在ABC的BC边再作等边三角形BCF,并连接AF如图2,可得到什么结论?是否有
(1)BE=CD=AF?
(2)BE、CD、AF三线交于一点O?
(3)∠AOB=∠BOC=∠COA=120°?
思考2 如将原题的图1改成图3,并连接DE,还能得到什么结论?
(1)原题的结论仍然成立：BE=CD．
(2)若∠ADC=120°,则D点在等边ΔAEC的外接圆上．D、B、E共线,由BE=CD有：AD＋CD=DE；若∠ADC≠120°,易证AD＋DC＞DE．得到下列命题．
定理1 等边三角形外接圆上一点,到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点,到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．
思考3 根据上述定理,在图2中还有
(1)OA＋OB＋OC=AF．
(2)在ΔABC内另取一点O,总有
O′A＋O′B＋O′C＞AF,
即 OA＋OB＋OC＜O′A＋O′B＋O′C．
(3)点O是ΔABC所在平面上到三个顶点距离之和为最小的点．
定理2 三角形每一内角都小于120°时,在三角形内必存在一点,它对三条边所张的角都是120°,该点到三顶点距离和达到最小,称为“费马点”,当三角形有一内角不小于120°时,此角的顶点即为费马点．
2．水管线路最短问题
如图4,要在河边修建一个水泵站,分别向张村、李庄供水,修在河边什么地方,可使所用水管最短?
这是一个很有意义的应用题,在公路,自来水或煤气管道线路设计等方面都有一定价值．假如不是由水泵站C直接向A、B两地供水,那么本例用“对称点”方法所确定的线路CA＋CB并不是最短线路．易知当A、B、C三点所确定的三角形各角都小于120°时,在该三角内必存在费马点O有OA＋OB＋OC＜CA＋CB,可见水管总长还可以更小一些．于是水管线路最短问题即为A、B两点在直线L同侧,点C为L上一个动点的费尔马问题,下面分两类情况讨论这个问题．
(1)AB与L的夹角小于30”．
如图5,以AB为一边作正三角形ABM,并作ΔABM的外接圆．
当所作外接圆与直线L相离或相切时,从M点作直线L的垂线,交圆于O点,垂足为C．C即为水泵站位置,先把水引到O点,再从O点分别向A、B两地供水,此时点O 更短,即在L上另选一点都不会改进．
优的了,因为∠ABC≥120°,费马点就是点C也就是在C建水泵站直接向A、B两地供水．如果水泵站C选在P点的左侧,如图7,此时△ABC的费马点O必在在点P上,故L上点P的左侧不会有更好的点可选,同理Q点的右边也找不出更好的点．
(2)AB与L的夹角不小于30°．
如图8,若A点离直线L较近,作AC⊥L交于C,点C为水泵站位置,因为∠CAB≥120°,点A即为ΔABC的费马点,此时水管总长为CA＋AB．在L上任意另取一点都不会再有改进．显然在点C的左侧取一点C′时,ΔABC′的费马点仍在A点,易知 弧上(因为ΔABM的外接圆不会与L相交或相切),故必有；O′A+O′B+O′C=O′M+O′C＞CA+AM=CA＋AB．
综上所述水管的最短线路有三种分别为“Y”字型“V”字型及“厂”字型．
3．两个应用题
文(4)谈到95年全国高考命题组,对应用题选编时曾考虑过如下两个题目：
(1)一条河宽1km,两岸各有一座城市A与B,A与B的直线距离是4km,今须铺设一条电缆连A与B,已知地下电缆修建费用为2万元/km,水下电缆为4万元/km,假定河两岸是直线,问应如何架设电缆方可使总施工费用达到最小?
(2)有四个点位于一个正方形的四个顶点上,须用线将它们连成一个网络(即从任何一点出发,可沿此网络中的线达到别的点),问此网络应以什么方式连接这四个点,方可使所用的线总长最小?
汤建新,赵汉群曾在《中学数学》(湖北)1997．10月刊上发文(5)对(1)题作了详细讨论,并给出一个很巧妙的解答,使初中学生可以理解．用费马点也可这样去解,因为水底电缆每千米修建费为地下的两倍,如图9,实际上即为在河岸直线L上找一点C使AC＋2BC最小,取B点关于L的对称点B′,因为BC=B′C故所求点C(电缆的下水点)即为ΔABB′的费马点,取∠BCA=120°即得．
关于(2)题如图10,易知不论如何连接,所求的网络必通过正方形中心O点,问题转化为ΔABO与ΔDCO的费马问题,也可以转化为问题(1),详细解答请同学们考虑．

费马点是指在三角形所在的平面内,到三角形三个顶点的距离的和最小的点.
(1).当三内角皆小于120°的三角形ABC的费马点，分别以 AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.
(2).若三角形有一内角大于或等于120度,则此角的顶点就是所求.
费马（Pierre...

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费马点是指在三角形所在的平面内,到三角形三个顶点的距离的和最小的点.
(1).当三内角皆小于120°的三角形ABC的费马点，分别以 AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.
(2).若三角形有一内角大于或等于120度,则此角的顶点就是所求.
费马（Pierre de Fermat,1601--1665） 法国数学家、物理学家。生于博蒙德罗曼。其父曾任法国图卢兹地方法院的法律顾问。本人身为律师，曾任图卢兹议会的顾问30多年。他的一系列重要科学研究成果，都是利用业余时间完成的。
费马在数学方面作出了卓越的贡献，早年主要研究概率论，对于数论和解析几何都有深入研究。他对微分思想的运用比牛顿和莱布尼兹还要早，在他所著《求最大值和最小值的方法》一书中，已对微分理论进行了比较系统的探讨。他把直线平面坐标应用于几何学也早于笛卡儿，在其所著〈平面及空间位置理论的导言〉中，最早提出了一次方程代表直线，二次方程代表截线，对一次与二次方程的一般形式，也进行了研究。费马还研究了对方程ax2+1=Y2整数解的问题。得出了求导数所有约数的系统方法。
著名的费马大定理是费马提出的至今尚未解决的问题。1637年费马提出：“不可能把一个整数的立方表示成两个立方的和，把一个四次方幂表示成两个四次方幂的和，一般地，不可能把任一个次数大于2的方幂表示成两个同方幂的和。”1665年这一定理提出后，引起了许多著名数学家的关注，至今尚在研究如何证明它的成立，但始终毫无结果。
费马在光学方面，确立了几何光学的重要原理，命名为费马原理。这一原理是几何光学的最重要基本理论之一，对于笛卡儿的“光在密媒质中比在疏媒质中传播要快”的观点给予了有力的反驳，把几何光学的发展推向了新的阶段。
几何光学已有悠久的发展历史。公元前400年，我国《墨经》中便有光的直线传播和各种面镜对光的反射的记载。公元100年亚历山大里亚的希罗（Hero）曾提出过光在两点之间走最短路程的看法。托勒密在公元130年对光的折射进行过研究。公元1611年开普勒对光学的研究达到了较高的定量程度。最后，1621年斯涅尔总结出了光的折射定律。费马则是用数学方法证明了折射定律的主要学者之一。
费马原理是根据经济原则提出的，它指出：光沿着所需时间为极值的路径传播。可以理解为，光在空间沿着光程为极值的路传播，即沿光程为最小、最大或常量路径传播。
费马定理不但是正确的，同时它与光的反射定律和折射定律具有同等的意义。由于费马原理的确立，几何光学发展到了较为完善的程度。

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费马点的几何确定2007年10月28日 星期日 12:43费马（Pierre De Fermat )是法国数学家，1601年8月17日出生于法国南部图卢兹附近的博蒙·德·洛马涅。他的父亲多米尼克·费马在当地开了一家大皮革商店，拥有相当丰厚的产业，使得费马从小生活在富裕舒适的环境中。费马小时候受教于他的叔叔皮埃尔，受到了良好的启蒙教育，培养了他广泛的兴趣和爱好，对他的性格也产生了重要的影响。直到14...

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费马点的几何确定2007年10月28日 星期日 12:43费马（Pierre De Fermat )是法国数学家，1601年8月17日出生于法国南部图卢兹附近的博蒙·德·洛马涅。他的父亲多米尼克·费马在当地开了一家大皮革商店，拥有相当丰厚的产业，使得费马从小生活在富裕舒适的环境中。费马小时候受教于他的叔叔皮埃尔，受到了良好的启蒙教育，培养了他广泛的兴趣和爱好，对他的性格也产生了重要的影响。直到14岁时，费马才进入博蒙·德·洛马涅公学，毕业后先后在奥尔良大学和图卢兹大学学习法律。
费马一生从未受过专门的数学教育，数学研究也不过是业余之爱好。然而，在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌：他是解析几何的发明者之一；对于微积分诞生的贡献仅次于牛顿、莱布尼茨，概率论的主要创始人，以及独承17世纪数论天地的人。此外，费马对物理学也有重要贡献。一代数学大师费马堪称是17世纪法国最伟大的数学家。尤其他提出的费马大定理更是困惑了世间智者358年。

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