定义域在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=—f(x),且在【—1,0】上市增函数,给出下列有关f（x）的判断：1:f（x)是周期函数；2:f(x)关于直线x=1对称；3:f(x)在[0,1]上是增函数；4:f(x)在[1,2]上市减函数；5:f(2

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/03 13:28:40

定义域在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=—f(x),且在【—1,0】上市增函数,给出下列有关f（x）的判断：1:f（x)是周期函数；2:f(x)关于直线x=1对称；3:f(x)在[0,1]上是增函数；4:f(x)在[1,2]上市减函数；5:f(2
定义域在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=—f(x),且在【—1,0】上市增函数,给出下列有关f（x）的判断：
1:f（x)是周期函数；2:f(x)关于直线x=1对称；3:f(x)在[0,1]上是增函数；4:f(x)在[1,2]上市减函数；5:f(2)=f(0) 其中正确的序列号是---------- ,要求有解题和证明的步骤,感激不尽!11

定义域在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=—f(x),且在【—1,0】上市增函数,给出下列有关f（x）的判断：1:f（x)是周期函数；2:f(x)关于直线x=1对称；3:f(x)在[0,1]上是增函数；4:f(x)在[1,2]上市减函数；5:f(2
∵f(x+1)=-f(x)
∴f(x+2)=-f(x+1)=f(x), f(x)是周期为2的周期函数.1正确
又∵f(x)是定义域在R上的偶函数
∴f(-x)=f(x)
∴f(1-x)=f(x-1)=f(x-1+2)=f(x+1)
∴f(x)关于直线x=1对称.2正确
又f(x)在[-1,0]上是增函数
任取0≤x1

除了（3）都对

f(x+1)=-f(x)=f(x-1) ==> f(x)=f(x+2)
f(x+1) = f(x-1) = f(1-x) ==> f(x)关于直线x=1对称
f(x) = f(-x) ==>f(x)关于直线x=0对称 ==> f(x)在[0，1]上是减函数

全部展开

f(x+1)=—f(x)，所以f(x+2)=)=—f(x+1)=f(x)，因此周期为2；
在f(x+1)=—f(x)中将x换成-x得f(-x+1)=—f(-x)=—f(x)，即得f(1-x)=f(1+x)，所以x=1也是函数的对称轴（用周期和在[-1，0]递增以及偶函数性质画草图也可以得到）；
偶函数图像关于y轴对称，在【—1,0】上是增函数，所以在【0，1】为减函数；
由周期为2知，在【1，2】的图像与【—1，0】的完全一致，应该是增函数；
由周期为2知f(2)=f(0)正确。
综上，正确的序号是：1、2、5

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