设a,b,c∈(0,+∞)且a+b+c=1.求证,(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)≥8

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2022/01/24 20:51:00

设a,b,c∈(0,+∞)且a+b+c=1.求证,(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)≥8
设a,b,c∈(0,+∞)且a+b+c=1.求证,(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)≥8

设a,b,c∈(0,+∞)且a+b+c=1.求证,(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)≥8
∵(1/a-1)
=(1-a)/a
=(a+b+c-a)/a
=(b+c)/a
又(√b-√c)^2≥0
b+c≥2√(bc)
∴(1/a-1)=(b+c)/a≥2√(bc)/a
同理
(1/b-1)≥2√(ac)/b
(1/c-1)≥2√(ab)/c
故(1/a-1)*(1/b-1)*(1/c-1)≥[2√(bc)/a]*[2√(ac)/b]*[2√(ab)/c]
=8 √[(a^2)*(b^2)8(c^2)]/(abc)
=8