a、b、c∈R a+b+c=1 求证((1/a)-1)((1/b)-1)((1/c)-1)≥8

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2022/01/24 22:21:53

a、b、c∈R a+b+c=1 求证((1/a)-1)((1/b)-1)((1/c)-1)≥8
a、b、c∈R a+b+c=1 求证((1/a)-1)((1/b)-1)((1/c)-1)≥8

a、b、c∈R a+b+c=1 求证((1/a)-1)((1/b)-1)((1/c)-1)≥8
应该还有一个条件是a,b,c都大于0的~【否则取a=b=0.75,c=-0.5,则不等式势必不成立~】
刚弄了半天弄出来了~
(1/a)-1 =(b+c)/a 通分之后很容易看出来~因为a+b+c=1~】
同理(1/b)-1 =(a+c)/b ,(1/c)-1 =(b+a)/c~
三个式子都带进去再转化一下,原式等价于是求证:
(a+b)(b+c)(a+c)≥8abc
此时,根据公式 a+b≥2√(ab) 厄,那个√当根号处理,一时间打不出根号了~】
有a+b≥2√(ab),b+c≥2√(bc),c+a≥2√(ac)
以上三式相乘,就有:
(a+b)(b+c)(a+c)≥8√(abcabc)=8abc