作业帮已知函数y=f(x)=x^2+2x+a/x,x∈[1,＋∞).(1):当a=1/2时,求函数f(x)的最小值；(2):若对任意x∈[1,＋∞),f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围.y=f(x)=(x^2+2x+a)/x
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 19:29:38
已知函数y=f(x)=x^2+2x+a/x,x∈[1,＋∞).(1):当a=1/2时,求函数f(x)的最小值；(2):若对任意x∈[1,＋∞),f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围.y=f(x)=(x^2+2x+a)/x
已知函数y=f(x)=x^2+2x+a/x,x∈[1,＋∞).
(1):当a=1/2时,求函数f(x)的最小值；
(2):若对任意x∈[1,＋∞),f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围.
y=f(x)=(x^2+2x+a)/x
已知函数y=f(x)=x^2+2x+a/x,x∈[1,＋∞).(1):当a=1/2时,求函数f(x)的最小值；(2):若对任意x∈[1,＋∞),f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围.y=f(x)=(x^2+2x+a)/x
f(x)=(x²+2x+a)/x
=x+(a/x)+2
x∈[1,＋∞).
(1)当a=1/2时,f(x)=x+1/(2x)+2
此函数是对钩函数,在(0,√2/2]递减,在[√2/2,+∞)递增,
∵x∈[1,＋∞).
∴f(x)min=f(1)=1+1/2+2=7/2
(2)对任意x∈[1,＋∞).f(x)＞0恒成立,则
f(x)=(x²+2x+a)/x
=x+(a/x)+2
分类讨论：
若a＞0,则对任意x∈[1,＋∞).x+a/x＞0,所以f(x)＞0恒成立
若a=0,则f(x)=x+2,对任意x∈[1,＋∞).f(x)＞0恒成立
若a＜0,则x和a/x在区间[1,+∞)同为增函数,即f(x)是增函数,此时只要f(1)=1+a+2＞0,即a＞-3,即可使得f(x)>0恒成立
综上所述,a的取值范围是(-3,+∞)
1. 当a=1/2时，f(x)=x^2+2x+a/x, x∈[1,＋∞).
原式=(x+1)^2-1+a/x, x∈[1,＋∞).
所以当x=-1时,f(x)有最小值f(-1)=-1+a/x
2. 函数不变,所以对称轴是x=-1
在x∈[1,＋∞)区间上,函数f(x)是单调递增的
所以最小值是f(1)=3+a
因...
全部展开
1. 当a=1/2时，f(x)=x^2+2x+a/x, x∈[1,＋∞).
原式=(x+1)^2-1+a/x, x∈[1,＋∞).
所以当x=-1时,f(x)有最小值f(-1)=-1+a/x
2. 函数不变,所以对称轴是x=-1
在x∈[1,＋∞)区间上,函数f(x)是单调递增的
所以最小值是f(1)=3+a
因为f(x)>0恒成立,所以3+a>0，所以a>-3
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由原式得：f(x)=x+a/x+2,易知此函数在a>0时，[√a，+∞]上递增，（0，√a]上递减
因为x∈[1，+∞），所以f（x）在[1，+∞）上递增
a=1/2时，最小值y=f(1)=3+a
1.a>0
最小值y=f（√a）=2√a+2>0
所以a>0时x∈[1，+∞）,f(x)>0恒成立
2.a<0
对f(x)求导得，y...
全部展开
由原式得：f(x)=x+a/x+2,易知此函数在a>0时，[√a，+∞]上递增，（0，√a]上递减
因为x∈[1，+∞），所以f（x）在[1，+∞）上递增
a=1/2时，最小值y=f(1)=3+a
1.a>0
最小值y=f（√a）=2√a+2>0
所以a>0时x∈[1，+∞）,f(x)>0恒成立
2.a<0
对f(x)求导得，y=1-a/x^2,x∈[1，+∞）,y>0
所以x∈[1，+∞）,f(x)递增
最小值f(a)=3+a>0,a<-3
3.
若a=0，则f(x)=x+2，对任意x∈[1,＋∞).f(x)＞0恒成立
所以啊a<-3或a≥0
注：你上面的y=f(x)=x^2+2x+a/x 应为
y=f(x)=（x^2+2x+a）x 吧
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