作业帮导数应用题有一圆锥形容器,高为10cm,底半径为4cm,现以5立方厘米/秒的速度把水注入该容器,求当水深5cm是水面上升的速度：（1)圆锥顶点在上；（2)圆锥顶点在下.必须求导，两个圆锥的体积不
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/20 01:37:23
导数应用题有一圆锥形容器,高为10cm,底半径为4cm,现以5立方厘米/秒的速度把水注入该容器,求当水深5cm是水面上升的速度：（1)圆锥顶点在上；（2)圆锥顶点在下.必须求导，两个圆锥的体积不
导数应用题
有一圆锥形容器,高为10cm,底半径为4cm,现以5立方厘米/秒的速度把水注入该容器,求当水深5cm是水面上升的速度：（1)圆锥顶点在上；（2)圆锥顶点在下.
必须求导，两个圆锥的体积不同，所以速度不同，用求导和微分作。
导数应用题有一圆锥形容器,高为10cm,底半径为4cm,现以5立方厘米/秒的速度把水注入该容器,求当水深5cm是水面上升的速度：（1)圆锥顶点在上；（2)圆锥顶点在下.必须求导，两个圆锥的体积不
(1)圆锥顶点在上
方法一：初等数学方法
水深5cm时,半径是2cm.圆面积=4π
水面上升速度=(5cm³/s)/(4πcm²)=5/4π cm/s
方法二：导数法
水深h时,r/R = (H-h)/H,r=(2/5)(10-h) [R=4,H=10]
水的体积V=⅓π[16×10 - r²×(10-h)]
=⅓π[16×10 - 4×(10-h)³/25]
dV/dt=5,∴5=-(⅓π)(4/25)3(10-h)²(-dh/dt)
h=5cm dh/dt=5×25/4π×25=5/4π cm/s
(2)圆锥顶点在下：
方法一：初等数学方法
水深5cm时,半径是2cm.圆面积=4π
水面上升速度=(5cm³/s)/(4πcm²)=5/4π cm/s
方法二：导数法
水深h时,r/R = H/10,r=Rh/10=4h/10=2h/5
水的体积V=⅓π×r²×h=⅓π×r²×h=⅓π×4h³/25=4πh³/75
dV/dt=5,∴5=[3×4π×h²/75](dh/dt)=[4π×h²/25](dh/dt)
h=5cm 5=[3×4π×h²/75](dh/dt)=[4π×25/25](dh/dt)
dh/dt=5×/4π=5/4π cm/s
分别计算两个截面积，再用流量除以截面积即可，不涉及导数。