作业帮设函数g(x)=[4^x+2^(x+k)+1]/[4^x+2^(x+1)+1],若对任意的实数x1,x2,x3,都有g(x1)+g(x2)≥g(x3),求实数k的取值范围.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 05:15:54
![设函数g(x)=[4^x+2^(x+k)+1]/[4^x+2^(x+1)+1],若对任意的实数x1,x2,x3,都有g(x1)+g(x2)≥g(x3),求实数k的取值范围.](/uploads/image/z/6791446-46-6.jpg?t=%E8%AE%BE%E5%87%BD%E6%95%B0g%28x%29%3D%5B4%5Ex%2B2%5E%28x%2Bk%29%2B1%5D%2F%5B4%5Ex%2B2%5E%28x%2B1%29%2B1%5D%2C%E8%8B%A5%E5%AF%B9%E4%BB%BB%E6%84%8F%E7%9A%84%E5%AE%9E%E6%95%B0x1%2Cx2%2Cx3%2C%E9%83%BD%E6%9C%89g%28x1%29%2Bg%28x2%29%E2%89%A5g%28x3%29%2C%E6%B1%82%E5%AE%9E%E6%95%B0k%E7%9A%84%E5%8F%96%E5%80%BC%E8%8C%83%E5%9B%B4.)
设函数g(x)=[4^x+2^(x+k)+1]/[4^x+2^(x+1)+1],若对任意的实数x1,x2,x3,都有g(x1)+g(x2)≥g(x3),求实数k的取值范围.
设函数g(x)=[4^x+2^(x+k)+1]/[4^x+2^(x+1)+1],若对任意的实数x1,x2,x3,都有g(x1)+g(x2)≥g(x3),求实数k的取值范围.
设函数g(x)=[4^x+2^(x+k)+1]/[4^x+2^(x+1)+1],若对任意的实数x1,x2,x3,都有g(x1)+g(x2)≥g(x3),求实数k的取值范围.
g(x)=1+(2^k-2)/(2^x+3)
由题意可得,对任意的实数
g(x1)+g(x2)-g(x3)>0 恒成立,则将x1=1,x2=2,x3=3代入
即：[1/(2^x1+3)+1/(2^x2+3)-1/(2^x3+3)](2^k-2)>0恒成立
那么必有 2^k-2>0
于是k>1
设2^x=m(m>0),则4^x=m^2,
g(m)=[m^2+km+1]/[m^2+m+1]=1+(k-1)/(m+1/m+1) （m>0)与f(x)等效；
设t=m+1/m (m>0), 则t >=2根号[m*(1/m)]=2,
h(t)=1+(k-1)/(t+1) (t>=2)也与f(x)等效。
1.h(t)min=f(x)min=-3, 则（...
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设2^x=m(m>0),则4^x=m^2,
g(m)=[m^2+km+1]/[m^2+m+1]=1+(k-1)/(m+1/m+1) （m>0)与f(x)等效；
设t=m+1/m (m>0), 则t >=2根号[m*(1/m)]=2,
h(t)=1+(k-1)/(t+1) (t>=2)也与f(x)等效。
1.h(t)min=f(x)min=-3, 则（k-1)/(t+1)min=-2,又t+1>0,则k-1<0
当k-1<0时，h(t)为增函数，h(t)min=h(tmin)=h(2)=1+(k-1)/3=-3,k=-11
2. f的任意3个函数值为边可构成三角形，即任意两个函数值h(t1),h(t2)之和会大于第三个函数 值h(t3),则只要满足2h(t)min>h(t)max即可。
1).k-1<0时，h(t)增函数，h(t)min=h(tmin)=h(2)=1+(k-1)/3;
当t→∞时，h(t)max趋近于但小于Lim h(t) =1,因为(k-1)/(t+1）<0恒成立；
则，1+(k-1)/3>=1/2Lim h(t)=1/2, 得k>=-1/2;
加上前提条件k<1,则-1/2≦k<1
2).k-1=0时，h(t)=1恒成立，构成等边三角形
3).k-1>0时，h(t)减函数，则h(t)max=h(tmin)=h(2)=1+(k-1)/3;
当t→∞时，h(t)min趋近于但大于Lim h(t) =1,因为(k-1)/(t+1）>0恒成立；
2h(t)min>h(t)max,即2Lim h(t)>=h(t)max,2>=1+(k-1)/3，则k<=4;
加上前提条件则1
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