作业帮高中数学基本不等式部分设a,b,c属于（0,正无穷）,且a+b+c=1,求证：(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)>=8刚学这部分,有点生疏,望高手赐教!急~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/24 02:50:06
高中数学基本不等式部分设a,b,c属于（0,正无穷）,且a+b+c=1,求证：(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)>=8刚学这部分,有点生疏,望高手赐教!急~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
高中数学基本不等式部分
设a,b,c属于（0,正无穷）,且a+b+c=1,求证：(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)>=8
刚学这部分,有点生疏,望高手赐教!
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高中数学基本不等式部分设a,b,c属于（0,正无穷）,且a+b+c=1,求证：(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)>=8刚学这部分,有点生疏,望高手赐教!急~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
[[(a+b+c)/a]-1][[(a+b+c)/b]-1][(a+b+c)/c]-1]>=8
[(b+c)/a][(a+c)/b][(a+b)/c]>=8
因为：(b+c)/a>=(2根号bc)/a
(a+c)/b>=(2根号ac)/b
(a+b)/c>=(2根号ab)/c
左边相乘得：[(b+c)/a][(a+c)/b][(a+b)/c]
右边相乘得8
所以不等式成立
∵（1/a-1)
=(1-a)/a
=(a+b+c-a)/a
=(b+c)/a
又(√b-√c)^2≥0
b+c≥2√(bc)
∴（1/a-1)=(b+c)/a≥2√(bc)/a
同理
(1/b-1)≥2√(ac)/b
(1/c-1)≥2√(ab)/c
故(1/a-1)*(1/b-1)*(1/c-1)≥[2√(bc)/a]*[2√(ac)/b]*[2√(ab)/c]
=8 √[(a^2)*(b^2)8(c^2)]/(abc)
=8
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