x y属于正实数,x a y成等差数列,x b c y成等比数列,求证(a+1)^2>=(b+1)(c+1)

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/03/29 17:15:48
x y属于正实数,x a y成等差数列,x b c y成等比数列,求证(a+1)^2>=(b+1)(c+1)

x y属于正实数,x a y成等差数列,x b c y成等比数列,求证(a+1)^2>=(b+1)(c+1)
x y属于正实数,x a y成等差数列,x b c y成等比数列,求证(a+1)^2>=(b+1)(c+1)

x y属于正实数,x a y成等差数列,x b c y成等比数列,求证(a+1)^2>=(b+1)(c+1)
"x+y>=2根号xy b+c>=2根号 bc=2根号xy 所以(x+y) -(b+c)>=0"
扯淡,从来没有“不等式相减仍然成立”这条定理.
x b c y成等比数列,设公比为q,则b=qx,c=q^2 x,y=q^3 x,应为x,y都是正数,所以q>0.
这样 x+y - b - c = (1+q^3 - q - q^2) x = (1-q) (1-q^2) x = (1-q)^2 (1+q) x >=0,
等号当且仅当q=1,即x=b=c=y.
这样,就有 x+y >= b+c,即 2a > b+c
而a^2 = [(x+y) /2]^2 >= [2√(xy) /2 ]^2 =xy=bc = q^3 x^2
所以,最后 a^2 + 2a +1 >= bc +b +c +1,即 (a+1)^2>=(b+1)(c+1)

因为 x a y成等差数列
所以 2a=x+y
因为 x b c y成等比数列
所以 bc=xy

因为 x a y成等差数列
所以 2a=x+y 所以a=(x+y)/2
因为 x b c y成等比数列
所以 bc=xy
所以(a+1)^2-(b+1)(c+1) =a^2+2a+1-bc-(b+c)-1=[(x+y)/2]^2+(x+y)-xy -(b+c)
[(x+y)/2]^2>=xy 所以[(x+y)/2]^2-xy>=0
x+y>=2根...

全部展开

因为 x a y成等差数列
所以 2a=x+y 所以a=(x+y)/2
因为 x b c y成等比数列
所以 bc=xy
所以(a+1)^2-(b+1)(c+1) =a^2+2a+1-bc-(b+c)-1=[(x+y)/2]^2+(x+y)-xy -(b+c)
[(x+y)/2]^2>=xy 所以[(x+y)/2]^2-xy>=0
x+y>=2根号xy b+c>=2根号 bc=2根号xy 所以(x+y) -(b+c)>=0
以上均为x=y时取=
所以[(x+y)/2]^2+(x+y)-xy -(b+c)>=0
即(a+1)^2>=(b+1)(c+1)

收起

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