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来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/25 17:53:20
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帮忙证明一个函数的周期
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由：f(x)+f(x+a)+f(x+2a)+f(x+3a)+f(x+4a)=f(x)f(x+a)f(x+2a)f(x+3a)f(x+4a)
以x+a代入,得：f(x+a)+f(x+2a)+f(x+3a)+f(x+4a)+f(x+5a)=f(x+a)f(x+2a)f(x+3a)f(x+4a)f(x+5a)
两式相减得：f(x)-f(x+5a)=f(x+a)f(x+2a)f(x+3a)f(x+4a)[f(x)-f(x+5a)]
即[f(x)-f(x+5a)][f(x+a)f(x+2a)f(x+3a)f(x+4a)-1]=0
因此有两种情况：
1）f(x)=f(x+5a),这时T=5a
2）f(x+a)f(x+2a)f(x+3a)f(x+4a)=1,这时代入原等式得：
f(x+a)+f(x+2a)+f(x+3a)+f(x+4a)=0
以x-a代入得：f(x)+f(x+2a)+f(x+3a)+f(x+3a)=0
两式相减：f(x)-f(x+4a)=0
得f(x)=f(x+4a),这时T=4a
因此T=5a或T＝4a都符合.如果T都满足5a及4a,则T=a也是其周期.
而显然若f(x)=5^(1/4) 常数函数,则任意一个正数都是其正周期.

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