作业帮已知定义域为R的函数f（x）=（-2的x次方+a/2的x次方+1）是奇函数（1）求a的值（2）判断并证明该函数在定义域R上的单调性（3）若对任意的t∈R,不等式f（t²-2t)+f(2t²-k)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 20:14:41
已知定义域为R的函数f（x）=（-2的x次方+a/2的x次方+1）是奇函数（1）求a的值（2）判断并证明该函数在定义域R上的单调性（3）若对任意的t∈R,不等式f（t²-2t)+f(2t²-k)
已知定义域为R的函数f（x）=（-2的x次方+a/2的x次方+1）是奇函数
（1）求a的值
（2）判断并证明该函数在定义域R上的单调性
（3）若对任意的t∈R,不等式f（t²-2t)+f(2t²-k)
已知定义域为R的函数f（x）=（-2的x次方+a/2的x次方+1）是奇函数（1）求a的值（2）判断并证明该函数在定义域R上的单调性（3）若对任意的t∈R,不等式f（t²-2t)+f(2t²-k)
∵f(x) = { -2^x + b } / { 2^(x+1) + a } 是奇函数∴f（0） = 0,且f（-x)=-f（x)
根据f（0）= 0,{-2^0 + b } / { 2^(0+1) + a},{-1+b} / {2+a},∴b=1,且a≠-2
根据f(-x)=-f(x)
{ -2^(-x)+1} / { 2^(-x+1)+a } = - { -2^x+1} / {2^(x+1)+a }
左边分子分母同乘以2^x：
{ -1+2^x } / { 2+a * 2^x } = { 2^x-1} / { 2^(x+1)+a}
{ -1+ 2^x} * {2^(x+1)+a} = {2+a * 2^x} * {2^x-1}
-2^(x+1) - a + 2^x * 2^(x+1) + a * 2^x = 2 * 2^x - 2 + a * 2^x * 2^x - a * 2^x
-2 * 2^x - a + 2 * 2^(2x) + a * 2^x = 2 * 2^x - 2 + a * 2^(2x) - a * 2^x
(2-a) * 2^(2x) - (2-a) * 2^x + (2-a) = 0
(2-a) * { 2^(2x) - 2^x + 1 } = 0
(2-a) * { (2^x - 1/2)^2 +3/4 } = 0
∵(2^x - 1/2)^2 +3/4 ＞ 0
∴2-a=0
∴a=2
∴f(x) = { -2^x + 1 } / { 2^(x+1) + 2 }
= -（2^x - 1) / (2 * 2^x + 2)
= -1/2 (2^x - 1) / (2^x + 1)
= -1/2 (2^x + 1 - 2) / (2^x + 1)
= -1/2 + 1 / (2^x + 1)
∵2^x在定义域上单调增；∴2^x + 1单调增；∴1 / (2^x + 1)单调减；∴ -1/2 + 1 / (2^x + 1)单调减
∴f(x)在定义域上单调减.
f(t^2-2t) + f(2t^2-k) < 0
-1/2 + 1 / {2^(t^2-2t) + 1} -1/2 + 1 / {2^(t^2-k) + 1} ＜ 0
-1 + 1 / {2^(t^2-2t) + 1} + 1 / {2^(t^2-k) + 1} ＜ 0
∵2^(t^2-2t) + 1＞1, 2^(t^2-k) + 1 ＞1
∴两边同乘以 {2^(t^2-2t) + 1} {2^(t^2-k) + 1}不等式不变号
∴- {2^(t^2-2t) + 1} {2^(t^2-k) + 1} + {2^(t^2-k) + 1} + {2^(t^2-2t) +1} ＜ 0
- 2^(t^2-2t) * 2^(t^2-k) - 2^(t^2-2t) - 1 - 2^(t^2-k)+ 2^(t^2-k) + 1 + 2^(t^2-2t) +1 ＜ 0
- 2^(t^2-2t) * 2^(t^2-k) +1 ＜ 0
2^(t^2-2t+t^2-k) ＞1
2(2t^2-2t-k) ＞ 1
2t^2 - 2t - k ＞ 0
f(t) = 2t^2 - 2t - k 开口向上,必须判别式＜0时才能与x轴无交点,f(t)=2t^2 - 2t - k 恒大于0
∴△ = (-2)^2-4*2*(-k) ＜ 0
4+8k＜0
k＜-1/2