在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=根号2AA1,D是A1B1的中点,点E在A1C1上,且DE垂直AE..求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/03 20:24:38
在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=根号2AA1,D是A1B1的中点,点E在A1C1上,且DE垂直AE..求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值

在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=根号2AA1,D是A1B1的中点,点E在A1C1上,且DE垂直AE..求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值
在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=根号2AA1,D是A1B1的中点,点E在A1C1上,且DE垂直AE.
.求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值

在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=根号2AA1,D是A1B1的中点,点E在A1C1上,且DE垂直AE..求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值
(2)如图所示,设F是AB的中点,连接DF、DC、CF,
由正三棱柱ABC-A1B1C1的性质及D是A1B的中点知A1B1⊥C1D,
A1B1⊥DF又C1D∩DF=D,所以A1B1⊥平面C1DF,
而AB∥A1B,所以
AB⊥平面C1DF,又AB⊂平面ABC1,故
平面ABC1⊥平面C1DF.
过点D做DH垂直C1F于点H,则DH⊥平面ABC1.
连接AH,则∠HAD是AD和平面ABC1所成的角.
由已知AB= √2AA1,不妨设AA1= √2,则AB=2,DF= √3,DC1= √3,
C1F= √5,AD= √(AA1²+AD²)= √3,DH= DF•DC1C1F= 2×35= √30/5,
所以sin∠HAD= DHAD= √10/5.
即直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为 √10/5.