设函数f(X)=X^3-(9/2)（X^2）+6X-a,若方程f(X)=0且仅有一个实根,求a的取值范围?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 07:22:04

设函数f(X)=X^3-(9/2)（X^2）+6X-a,若方程f(X)=0且仅有一个实根,求a的取值范围?
设函数f(X)=X^3-(9/2)（X^2）+6X-a,若方程f(X)=0且仅有一个实根,求a的取值范围?

设函数f(X)=X^3-(9/2)（X^2）+6X-a,若方程f(X)=0且仅有一个实根,求a的取值范围?
f(x)=x³-(9/2)x²+6x-a
f´(x)=3x²-9x+6=3(x-1)(x-2)
令f´(x)=0得驻点x1=1,x2=2
f"(x)=6x-9,f"(1)=-3＜0,f"(2)=3＞0
所以
f(x1)=f(1)=1³-(9/2)*1²+6*1-a=5/2-a为极大值,
f(x2)=2³-(9/2)*2²+6*2-a=2-a为极小值
当极大值小于0或极小值大于0时,该立方抛物线均与x轴只有一个交点,也即方程f(X)=0有且仅有一个实根
由f(x1)=5/2-a＜0得：5/2＜a
由f(x2)=2-a＞0得：a＜2
所以5/2＜a＜2

记H（X）=X^3-(9/2)（X^2）+6X
求导 H'（X）=3X^2-9X+6=3(X-1)(X-2)
画出H（X）的图像用y=a这条直线与之只有1个交点的A范围，就是所求的范围

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