作业帮在△ABC中,已知a、b、c分别是角A、B、C的对边不等式,x²cosC+4xsinC+6≥0对一切实数x恒成立（1）求∠C的最大值（2）若角C取得最大值,且a=2b,求角B的大小
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 22:38:53
在△ABC中,已知a、b、c分别是角A、B、C的对边不等式,x²cosC+4xsinC+6≥0对一切实数x恒成立（1）求∠C的最大值（2）若角C取得最大值,且a=2b,求角B的大小
在△ABC中,已知a、b、c分别是角A、B、C的对边不等式,x²cosC+4xsinC+6≥0对一切实数x恒成立
（1）求∠C的最大值
（2）若角C取得最大值,且a=2b,求角B的大小
在△ABC中,已知a、b、c分别是角A、B、C的对边不等式,x²cosC+4xsinC+6≥0对一切实数x恒成立（1）求∠C的最大值（2）若角C取得最大值,且a=2b,求角B的大小
x^2cosC+4xsinC+6
=x^2+4xtanC+6/cosC
=(x+2tanC)^2+6/cosC-4(tanC)^2
因(x+2tanC)^2≥0,要使原式恒成立,则 6/cosC-4(tanC)^2≥0
[6cosC-4(sinC)^2]/(cosC)^2≥0
即6cosC-4(sinC)^2≥0 因分母(cosC)^2必大于0
解得：cosC≤1/2 ,即取1/2时,C为60°,此时
a=2b
所以 B为90°
令f(x)=x²cosC+4xsinC+6，那么：
1、若cosC<0，抛物线函数f(x)开口向下，与对一切实数x：f(x)≥0恒成立矛盾
2、若cosC=0，sinC=1，f(x)=4x+6，是一条斜率为4的直线，与对一切实数x：f(x)≥0恒成立矛盾
所以：cosC>0，此时f(x)是开口向上的抛物线，其最小值须≥0：
当x = -2tanC时，有最小...
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令f(x)=x²cosC+4xsinC+6，那么：
1、若cosC<0，抛物线函数f(x)开口向下，与对一切实数x：f(x)≥0恒成立矛盾
2、若cosC=0，sinC=1，f(x)=4x+6，是一条斜率为4的直线，与对一切实数x：f(x)≥0恒成立矛盾
所以：cosC>0，此时f(x)是开口向上的抛物线，其最小值须≥0：
当x = -2tanC时，有最小值：f(x)=6-4sinCtanC≥0，解得cosC≥1/2=cos60°
所以∠C≤60°，即∠C最大值为60°
∠C=60°，a=2b，由余弦定理有：
c²=a²+b²-2ab·cosC=3b²
那么a、b、c满足勾股定理：b²+c²=a²
此时：△ABC是一个以a为斜边的直角三角形，其中∠A=90°，∠B=30°
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