作业帮如图,等腰三角形ABC中,AB=AC=10,BC=12,动点P作AB的垂线交BC于点D,点E在边AC上,且∠PDE=∠B.当点P在AB上运动时,△BPD的面积可能等于△CDE面积的四倍吗?若能,请求出BP的长；若不能,请说明理由.清晰点
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 19:03:51
如图,等腰三角形ABC中,AB=AC=10,BC=12,动点P作AB的垂线交BC于点D,点E在边AC上,且∠PDE=∠B.当点P在AB上运动时,△BPD的面积可能等于△CDE面积的四倍吗?若能,请求出BP的长；若不能,请说明理由.清晰点
如图,等腰三角形ABC中,AB=AC=10,BC=12,动点P作AB的垂线交BC于点D,点E在边AC上,且∠PDE=∠B.
当点P在AB上运动时,△BPD的面积可能等于△CDE面积的四倍吗?若能,请求出BP的长；若不能,请说明理由.
清晰点
如图,等腰三角形ABC中,AB=AC=10,BC=12,动点P作AB的垂线交BC于点D,点E在边AC上,且∠PDE=∠B.当点P在AB上运动时,△BPD的面积可能等于△CDE面积的四倍吗?若能,请求出BP的长；若不能,请说明理由.清晰点
当点P在AB上运动时,△BPD的面积能等于△CDE面积的四倍
因为∠PDE＝∠B,∠PDB＋∠B＝90度
所以∠BDE＝∠BPD＝90度
因为∠B＝∠C
所以△BPD∽△CDE
作AM⊥BC
根据条件容易得到AM＝8,CM＝6
所以CM：AM：AC＝3：4：5
显然△ACM∽△EDC
所以CD：DE：CE＝3：4：5
所以可设CD＝3X,DE＝4X,CE＝5X
因为△BPD∽△CDE且S△BPD＝4△CDE
所以BD/CE＝BP/CD＝PD/DE＝2
所以BP＝6X,BD＝10X
因为BD＋CD＝12
所以13X＝12
所以X＝12/13
所以BP＝6X＝72/13
因为72/13＜10
所以P在AB上,符合条件
即当BP＝72/13时S△BPD＝4△CDE
江苏吴云超祝你学习进步
由于DP垂直AB， ∠PDE＝∠B，所以DE垂直BC；（一个角的两个边垂直于另一个角的两个边时，二角相等）
又因为是等腰三角形，所以∠PDE＝∠B=∠C
△BPD的面积为BP*(BP*tg∠B)/2= BP^2*tg∠B/2
△CDE的面积为CD*(CD*tg∠C)/2= CD^2*tg∠C/2= CD^2*tg∠B/2
当△BPD的面积等于△CDE面积的四倍时有：...
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由于DP垂直AB， ∠PDE＝∠B，所以DE垂直BC；（一个角的两个边垂直于另一个角的两个边时，二角相等）
又因为是等腰三角形，所以∠PDE＝∠B=∠C
△BPD的面积为BP*(BP*tg∠B)/2= BP^2*tg∠B/2
△CDE的面积为CD*(CD*tg∠C)/2= CD^2*tg∠C/2= CD^2*tg∠B/2
当△BPD的面积等于△CDE面积的四倍时有：
BP^2*tg∠B/2 = 4*(CD^2*tg∠B/2) ==> BP=2CD
BD=BP/cos∠B
BD+CD=12 ==> BP/cos∠B + BP/2 = 12
过A点做BC垂线交BC于F点。
cos∠B = (BC/2)/AB = 6/10 = 3/5 代入上式
BP/(3/5) + BP/2 = 12
求得 BP=72/13这个长度小于AB边长，所以当点P在AB上运动时，△BPD的面积能等于△CDE面积的四倍
收起
啊