a,b,c属于R+,a+b+c=1,求bc/a+ac/b+ab/c最小值

a,b,c属于R+,a+b+c=1,求bc/a+ac/b+ab/c最小值
a,b,c属于R+,a+b+c=1,求bc/a+ac/b+ab/c最小值

a,b,c属于R+,a+b+c=1,求bc/a+ac/b+ab/c最小值
原式=(1－a)/a＋(1－b)/b＋(1－c)/c=(1/a)＋(1/b)＋(1/c)－3,因a＋b＋c≥3³√(abc),则abc(1/27),则原式≥27－3=14,最小值是24

bc/a+ac/b+ab/c
=b2c2/abc+a2c2/abc+a2b2/abc
=(b2c2+a2c2+a2b2)/abc
>=3(b2c2*a2c2*a2b2)的1/3次 /abc
=3 abc的4/3次/abc
=3abc的1/3次
〉=1

由极值对称性可知当a=1/3,b=1/3,c=1/3时有最小值，
代入问题可得答案为1

已知a,b,c属于R+且a+b+c=1求证
2 2 2
(a+1/a) +(b+1/b) +(c+1/c) 大于等于100/3

原式=1/2(2*bc/a+2*ac/b+2*ab/c)
=1/2[bc/a+ac/b+ab/c+bc/a+ac/b+ab/c]
=1/2[c(b/a+a/b)+b(c/a+a/c)+a(b/c+c/b)]
>=1/2(2*c+2*b+2*a)=a+b+c=1
即最小值是:1

由柯西定理得
bc/a+ac/b+ab/c
>=(a+b+c)(b/a+c/b+a/c)/3
>=a+b+c)(b/a*c/b*a/c)^(1/3)
=1
当且仅当a=b=c=1/3时取的最小值

bc/a+ac/b+ab/c=abc(1/a²+1/b²+1/c²)
∵1/a²+1/b²+1/c²≥1/ab+1/bc+1/ca
bc/a+ac/b+ab/c≥abc(1/ab+1/bc+1/ca)=a+b+c
bc/a+ac/b+ab/c≥a+b+c=1
a=b=c=1/3时，bc/a+ac/b+ab/c最小值=1

由柯西不等式得:由于a，b，c〉0，(bc/a+ac/b+ab/c)(ab/c+bc/a+ac/b)〉=(b+c+a)^2=1，即(bc/a+ac/b+ab/c)^2〉=1，所以原式最小值为1。但且仅但a=b=c时等号成立。