已知a,b,c都是正数 a+b+c=1 求证a^3+b^3+c^3>=(a^2+b^2+c^2)/3要求用柯西不等式

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 19:27:31
已知a,b,c都是正数 a+b+c=1 求证a^3+b^3+c^3>=(a^2+b^2+c^2)/3要求用柯西不等式

已知a,b,c都是正数 a+b+c=1 求证a^3+b^3+c^3>=(a^2+b^2+c^2)/3要求用柯西不等式
已知a,b,c都是正数 a+b+c=1 求证a^3+b^3+c^3>=(a^2+b^2+c^2)/3
要求用柯西不等式

已知a,b,c都是正数 a+b+c=1 求证a^3+b^3+c^3>=(a^2+b^2+c^2)/3要求用柯西不等式
(a^2+b^2+c^2)*(1+1+1)>=(a+b+c)^2=1 (柯西不等式）
所以(a^2+b^2+c^2）>=1/3 （1式）
又a^3+b^3+c^3＝（a^3+b^3+c^3）*（a+b+c)>=(a^2+b^2+c^2)^2>=(a^2+b^2+c^2）/3 (将1式代入结果,同时第一个不等号处又用了一次柯西不等式）
证毕.

a^2+b^2+c^2)*(1+1+1)>=(a+b+c)^2=1 (柯西不等式）
所以(a^2+b^2+c^2）>=1/3 （1式）
又a^3+b^3+c^3＝（a^3+b^3+c^3）*（a+b+c)>=(a^2+b^2+c^2)^2>=(a^2+b^2+c^2）/3

(1)不妨设a>=b>=c
a^2+b^2+c^2-3(a^3+b^3+c^3)=(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)-3(a^3+b^3+c^3)
=a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b-2a^3-2b^3-2c^3
=(a^2-b^2)(a-b)+(b^2-c^2)(b-c)+(c^2-a^2)(c-a)
三个式子都大于等于0，所以有a^2+b^2+c^2>=3(a^3+b^3+c^3)
当且仅当a=b=c取等
(2)

已知a、b、c都是正数,且a+b+c=1,证明:1-2b(a+c)+b2 已知a,b,c,d都是正数,且a/b 已知a,b,c都是正数,且3a=4b=6c,则已知a,b,c都是正数,且3a=4b=6c,则2/c=1/a+2/b 为什么 已知a,b,c都是正数,求证：(a+b)（b+c)(c+a)≥8abc 已知a、b、c都是正数,求证：（a+b)(b+c)(c+a)≥ 8abc 已知abc都是正数,且a+b+c=1 求证：(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc 如果a b c都是正数,那么（a+b)(b+c)(c+a)>=8abc 已知abc都是正数,求证：1/2a+1/2b+1/2c>=1/(a+b)+1/(a+c)+1/(b+c) 已知a,b,c都是正数,且a+b+c=1.求证：(1-a)(1-b)(1-c)>=8abc 已知a,b,c都是正数,且a+2b+c=1,则1/a+1/b+1/c的最小值是多少? 已知a,b,c都是正数,a+b+c=1,设t=(根号3a+2)+(根号3b+2)+( 根号3c+2),求证:t 基本不等式应用的证明问题1已知a b c都是正数,求证：(a+b)(b+c)(c+a)>=8abc 已知A,B,C都是负数,并且|X-A|+|Y-B|+|Z-C|=0,则XYZ是?A负数 B非负数 C正数 D非正数 a,b,c都是正数,ab+bc+ca=1则a+b+c 已知abc都是正数,且a+b+c=1,求(1-c)/(2a+1)的取值范围 已知a,b,c都是正数,a+b+c=1,求u=(3a^2-a)/(1+a^2)+(3b^2-b)/(1+b^2)+(3c^2-c)/(1+c^2)的最小值, 已知abc都是不等于0的有理数,求|a|/a+|b|/b+|c|/c急我们可以用分析来解题：1、如果a、b、c都是正数时：|a|/a+|b|/b+|c|/c = 32、如果其中一个是负数，两个是正数时：|a|/a+|b|/b+|c|/c = （-1）+ 1 + 1 = 13、 谁会已知a、b、c都是正数,证明(a+b)(b+c)(c+a)大于等于8abc