已知a b c属于R,a+b+c=0,abc=1,求证abc中至少有一个大于1.5

已知a b c属于R,a+b+c=0,abc=1,求证abc中至少有一个大于1.5
已知a b c属于R,a+b+c=0,abc=1,求证abc中至少有一个大于1.5

已知a b c属于R,a+b+c=0,abc=1,求证abc中至少有一个大于1.5
证明：由a+b+c=0及abc=1可知,a,b,c中只有一个正数、两个负数,不妨设a是正数,由题意得b+c=-a,bc=1/a;
于是根据韦达定理知,b,c是方程x^2+ax+1/a=0的两个根,又b,c是实数,
因此上述方程的判别式
△=a^2-4/a≥0因为a>0,所以a^3-4≥0,a^3≥4
a≥(4)^(1/3)>(3.375)^(1/3)=1.5;
这也就证明了a,b,c中必有一个大于1.5

证明：由题知，a，b，c中必有一个是正数，不妨设c为正数．
依定理（a＋b）^2≥4ab，
得（－c）2≥4·（1／c），
c^3≥4
于是c≥3次根号下4 ＞ ＝3／2，故得证．