在数列﹛an﹜中,a1=1,a（n+1）=can+[c的n+1次幂（2n+1）],其中实数c不等于0,则an的通项公式是?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/03 18:16:47

在数列﹛an﹜中,a1=1,a（n+1）=c*an+[c的n+1次幂*（2n+1）],其中实数c不等于0,则an的通项公式是?
在数列﹛an﹜中,a1=1,a（n+1）=c*an+[c的n+1次幂*（2n+1）],其中实数c不等于0,则an的通项公式是?

在数列﹛an﹜中,a1=1,a（n+1）=c*an+[c的n+1次幂*（2n+1）],其中实数c不等于0,则an的通项公式是?
这道题可以根据计算结果总结规律,然后用归纳法证明：
a2=c*a1+[c^2*3]=c+3*c^2
a3=c*a2+[c^3*5]=c^2+8*c^3
a4=c^3+15c^4
a5=c^4+24c^5
…………
可以猜测 an=c^(n-1)+(n^2-1)*c^n
下面用数学归纳法证明：
当 n=1时结论成立
假设 n=k时有 ak=c^(k-1)+(k^2-1)*c^k 成立
则n=k+1时 ,由题设知
a(k+1)=c*ak+c^(k+1)*(2k+1)
=c[c^(k-1)+(k^2-1)*c^k ]+c^(k+1)*(2k+1)
=c^k+(k^2-1+2k+1)*c^(k+1)
=c^k+[(k+1)^2-1]*c^(k+1)
所以n=k+1时结论成立
通式为 an=c^(n-1)+(n^2-1)*c^n
水平有限,未能找到此题的直接解法,在此仅作抛砖引玉希望能对你有所帮助.

不明白，题目写清楚点。

设An+1+X=C(An+X）
X=C^（n+1)*(2n+1) / c-1
则 An+C^（n+1)*(2n+1) / c-1 就是以A1=1+3c^2/c-1 q=c的等比数列
｛An+C^（n+1)*(2n+1) / c-1 ｝=（1+3c^2/c-1）c^(n-1)
故An=（1+3c^2/c-1）c^(n-1)-c^（n+1)*(2n+1) / c-1

a(n+1)=can+[c^(n+1)*(2n+1)]
两边同时除以c^(n+1)得
a(n+1)/c^(n+1)=an/c^n+(2n+1)
设an/c^n=bn
则b(n+1)=bn+2n+1
那么bn=b(n-1)+2n-1
b(n-1)=b(n-2)+2n-3
b(n-2)=b(n-3)+2n-5
…
b2=b1+3<...

全部展开

a(n+1)=can+[c^(n+1)*(2n+1)]
两边同时除以c^(n+1)得
a(n+1)/c^(n+1)=an/c^n+(2n+1)
设an/c^n=bn
则b(n+1)=bn+2n+1
那么bn=b(n-1)+2n-1
b(n-1)=b(n-2)+2n-3
b(n-2)=b(n-3)+2n-5
…
b2=b1+3
累加得bn=b1+(2n-1)+(2n-3)+(2n-5)+…+3=b1+[(n-1)(2n-1+3)]/2=b1+n²-1
b1=a1/c=1/c
那么bn=1/c+n²-1
即an/c^n=1/c+n²-1
an=c^(n-1)+(n²-1)c^n

收起

全部展开

在递推公式
A(n+1)=cAn+[c^(n+1)]*(2n+1)中
两边都除以c^(n+1)有
[A(n+1)]/[c^(n+1)]=[An]/[c^(n)]+2n+1
于是相似地，可以写出
[An]/(c^n)=A(n-1)/c^(n-1)+2n-1
A(n-1)/c^(n-1)=A(n-2)/c^(n-2)+2n-3
...
A2/c^2=A1/c+3
累加上述数式得到
An/c^n=A1/c+n^2-1
→
An=[c^(n-1)]+(n^2-1)*[c^n]
A(2k)-A(2k-1)
=[c^(2k-2)][(4c^2-4c)k^2+4ck-c^2+c-1]
c^(2k-2)=[c^(k-1)]^2＞0成立
故需二次项系数
4c^2-4c＞0
→c＜0或c＞1

收起

这样做怎么样？

在数列｛an｝中,a1=3,a(n+1)=an+n,求an 在数列{an}中,a1=1,a（n+1）=3an+4^（n+1）求an 在数列an中,a1=1,且满足a（n+1）=3an +2n,求an 在数列{an}中 a1=1 a（n+1）+an=6n 求通项an 在数列{an}中.a1=3且a(n+1)=an^2,求an 在数列{an}中,a1=2,a(n+1)=4an-3n+1(n为正整数）,证明数列{an-n}是等比数列设数列﹛an﹜中,a1+4,an=3a(n-1)+2n-1,求通项an 在数列an中,若a1=4,4a（n+1）=an,则an= 在数列an中,若a1=4,4a（n+1）=an,则an= 已知在数列{an}中,a1=2,an=3a[(n-1)](下标）-2,求an 在数列an中,a1=0,a(n+1)=-a1+3的n次方,（n属于N*）求an通项公式在数列{an}中,a1=2,an除以a(n-1)=n除以n+1,求an 在数列{an}中,a1=15,3a(n+1)=3an-2,n属于N*,若an 在数列﹛an﹜中,a1=1,a(n+1)=(1+1÷n）an+[(n+1)÷2的n次方],设bn=an÷n,求bn的通项公式在数列{AN}中,若A1=1,A（N+1）=2AN+3（N大于等于1）,求数列{AN}的通项公式 1、在数列{an}中,a1=1.a(n+1)=3an+2n+1.求an.2、在数列{an}中,a1=-1,a(n+1)=(3an-4)/[(an)-1].求an. 在数列｛an}中,a1=1,a（n+1）=1-(1)/(4an),bn=(2)/(2an-1),其中n在数列｛an}中,其中n属于N+在数列｛an}中,a1=1,an+1=1-(1)/(4an),bn=(2)/(2an-1),其中n在数列｛an}中,其中n属于N+1)求证：数列{bn}是等差数列,并求数列{ 在数列{an}中,a1=2,an=3a（n-1） +5（n≥2,n属于n*）则an=______. 已知在数列{an}中,a1=2,a(n+1)-3a(n)=3n,求an