作业帮已知双曲线中心在坐标原点,焦点在y轴上,实轴长为2sinθ(45°≤θ≤60°),双曲线上任意一点P(x,y)到定点M(1,0)的最短距离为1/sinθ,记双曲线的实轴长、虚轴长、焦距分别为2a,2b,2c.(1)将b^2表示成关于s
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 17:28:11
已知双曲线中心在坐标原点,焦点在y轴上,实轴长为2sinθ(45°≤θ≤60°),双曲线上任意一点P(x,y)到定点M(1,0)的最短距离为1/sinθ,记双曲线的实轴长、虚轴长、焦距分别为2a,2b,2c.(1)将b^2表示成关于s
已知双曲线中心在坐标原点,焦点在y轴上,实轴长为2sinθ(45°≤θ≤60°),双曲线上任意一点P(x,y)到定点M(1,0)的最短距离为1/sinθ,记双曲线的实轴长、虚轴长、焦距分别为2a,2b,2c.
(1)将b^2表示成关于sinθ的函数
(2)求c/a的取值范围
已知双曲线中心在坐标原点,焦点在y轴上,实轴长为2sinθ(45°≤θ≤60°),双曲线上任意一点P(x,y)到定点M(1,0)的最短距离为1/sinθ,记双曲线的实轴长、虚轴长、焦距分别为2a,2b,2c.(1)将b^2表示成关于s
计算复杂..,\7\7\7
(1)
实轴长为2a = 2sinθ, a = sinθ
焦点在y轴上, y²/a² - x²/b² = 1
两边对求导: y' = (a²x)/(b²y)
设该距离最近的点为P(u, v), v²/a² - u²/b² = 1, v² = a²...
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(1)
实轴长为2a = 2sinθ, a = sinθ
焦点在y轴上, y²/a² - x²/b² = 1
两边对求导: y' = (a²x)/(b²y)
设该距离最近的点为P(u, v), v²/a² - u²/b² = 1, v² = a²(1 + u²/b²) (i)
MP的斜率k = v/(u - 1)
过P的切线斜率为k' = (a²u)/(b²v)
显然kk' = -1, a²u = b²(1 - u), u = b²/(a² + b²)
v² = a²(1 + u²/b²) = a² + a²b²/(a² + b²)² (ii)
|MP|² = (u - 1)² + (v - 0)² = (u - 1)² + v² = 1/sin²θ
[b²/(a² + b²) - 1]² + v² = 1/sin²θ
a²/(a² + b²) + a² = 1/sin²θ
b² = a²/(1/sin²θ - a²) - a²
= sin²θ/(1/sin²θ - sin²θ) - sin²θ
= sin²θ(sin⁴θ + sin²θ - 1)/(1 - sin⁴θ)
(2)
c² = a² + b²
f(θ) = c²/a² = 1 + b²/a² = 1 + 1/(1/sin²θ - a²) - 1
= 1/(1/sin²θ - a²) = sin²θ/(1 - sin⁴θ)
f'(θ) = 2sinθcosθ/(1 - sin³θ) + sin²θ*(-1)(1 - sin³θ)⁻²(-3sin²θ)cosθ
= 2sinθcosθ(sin⁴θ + 1)/(1 - sin⁴θ)² > 0
θ = 45°, sinθ = 1/√2
f(45°) = (1/√2)/[1 - (1/√2)⁴] = 2/3
e = √(2/3) = √6/3
θ = 60°, sinθ = √3/2
f(60°) = (√3/2)²/[1 - (√3/2)⁴] = 12/7
e = √(12/7) = 2√21/7
c/a的取值范围: [√6/3, 2√21/7 ]
约为[1.6996, 3.0591]
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