作业帮已知抛物线C:y2=2px,点P(-1,0)是其准线与x轴的交点,过P的直线l与抛物线C交于A,B.（1）当线段AB的中点在直线x=7上时,求直线L的方程；（2）设F为抛物线C的焦点,当A为线段PB中点时,求三角形FAB的面
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 19:59:57
已知抛物线C:y2=2px,点P(-1,0)是其准线与x轴的交点,过P的直线l与抛物线C交于A,B.（1）当线段AB的中点在直线x=7上时,求直线L的方程；（2）设F为抛物线C的焦点,当A为线段PB中点时,求三角形FAB的面
已知抛物线C:y2=2px,点P(-1,0)是其准线与x轴的交点,过P的直线l与抛物线C交于A,B
.（1）当线段AB的中点在直线x=7上时,求直线L的方程；（2）设F为抛物线C的焦点,当A为线段PB中点时,求三角形FAB的面积 详解 过程 O(∩_∩)O谢谢
已知抛物线C:y2=2px,点P(-1,0)是其准线与x轴的交点,过P的直线l与抛物线C交于A,B.（1）当线段AB的中点在直线x=7上时,求直线L的方程；（2）设F为抛物线C的焦点,当A为线段PB中点时,求三角形FAB的面
(1)抛物线准线是x=-p/2 所以p=2
y²=4x
设A(x1,y1) B(x2,y2) 中点为(x,y)
那么y1+y2=2y
y1²=4x1
y2²=4x2
两式相减
得到(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2)
于是得到直线的斜率
k=(y1-y2)/(x1-x2)=4/(y1+y2)=2/y
另外一方面直线过点(-1,0),斜率为
k=y/(x+1)=2/y
于是得到AB中点的轨迹方程是
y²=2(x+1)
题中给出了中点在直线x=7上
那么y=±4
也就是中点坐标为(7,±4)
直线的方程有两个
x-2y+1=0或者x+2y+1=0
(2)
作A,B两点到准线的垂线 垂足为M,N
根据抛物线的定义
AF=AM=x1+1 BF=BN=x2+1
而PA=AB
所以BN=2AM BF=2AF
PN=2PM
也就是x2+1=2(x1+1)①和y2=2y1
y1²=4x1
y2²=4x2
推出x2/x1=y2²/y1²=4
代入①得到
x1=1/2 x2=2
y1=±√2 y2=±2√2
A(1/2,√2) B(2,2√2)或者(1/2,-√2) B(2,-2√2)
直线方程就是
2√2x±3y+2√2=0
F(1,0)到它的距离就是
h=4√2/√(8+9)=4√2/√17；
另外AB=1/2PB=√17/2
那么S=1/2AB*h=√2