作业帮已知a,b属于(0,正无穷),且a+b=1,求证:a平方+b平方大于等于1/2
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/26 07:39:02
已知a,b属于(0,正无穷),且a+b=1,求证:a平方+b平方大于等于1/2
已知a,b属于(0,正无穷),且a+b=1,求证:a平方+b平方大于等于1/2
已知a,b属于(0,正无穷),且a+b=1,求证:a平方+b平方大于等于1/2
证：原不等式可转换为 （a+b）^2-2ab≥1/2
又 a+b=1 所以 1-2ab≥1/2 即 ab ≤1/4
只要证 a,b属于(0,正无穷),且a+b=1时,ab ≤1/4
令f（a）=ab=a（1-a）=-a^2+a ,a属于(0,正无穷) 函数开口向下
对称轴 a=1/2 ,f（a）min=f(12)=1/4
所以 a,b属于(0,正无穷),且a+b=1时,ab ≤1/4
所以 a,b属于(0,正无穷),且a+b=1时,a^2+b^2≥1/2
容易知道0
a^2+b^2>=2ab
a=b时， a^2+b^2=2ab ,a^2+b^2取最小值
a=b=1/2
a^2+b^2>=1/2
不等式的证明，一般采用作差法。
证明：(a²＋b²)－(1/2)=(a²＋b²)－(1/2)(a＋b)² 【利用：a＋b=1】
=(1/2)[2(a²＋b²)－(a＋b)²]
=(...
全部展开
不等式的证明，一般采用作差法。
证明：(a²＋b²)－(1/2)=(a²＋b²)－(1/2)(a＋b)² 【利用：a＋b=1】
=(1/2)[2(a²＋b²)－(a＋b)²]
=(1/2)[a²－2ab＋b²]
=(1/2)(a－b)²≥0
所以，a²＋b²≥1/2
收起
证法一：因为 1=(a+b)²=a²+b²+2ab≤a²+b²+a²+b²=2(a²+b²)
所以a²+b²≥1/2
证法二：a²+b²= a²+（1-a)²=2a²-2a+1=2(a-1/2)²+1/2≥1/2 ...
全部展开
证法一：因为 1=(a+b)²=a²+b²+2ab≤a²+b²+a²+b²=2(a²+b²)
所以a²+b²≥1/2
证法二：a²+b²= a²+（1-a)²=2a²-2a+1=2(a-1/2)²+1/2≥1/2
证法三：由基本不等式 得 a²+(1/2)²≥a
b²+(1/2)²≥b
两式相加 ，得 a²+b²+1/2≥1
即a²+b²≥1/2
证法四：因为 a,b属于(0,正无穷),且a+b=1,
设a=1/2 -x, b=1/2+x
则 a²+b²= (1/2-x)²+(1/2+x)²
=1/4-x+x²+1/4+x+x²
=1/2+ 2x²≥1/2
收起
∵a+b≥2√ab
∴1≥2√ab
∴1/4≥ab
又∵a^2+b^2≥2ab
∴a^2+b^2≥1/2
√x＞ax 3/2化为ax-√x 3/2