圆锥体积的那个1/3 如何在数学上证明可能要用微积分吧,讲一讲基本步骤就是为什么是1/3而不是1/4呢？

圆锥体积的那个1/3 如何在数学上证明可能要用微积分吧,讲一讲基本步骤就是为什么是1/3而不是1/4呢？
圆锥体积的那个1/3 如何在数学上证明
可能要用微积分吧,讲一讲基本步骤
就是为什么是1/3而不是1/4呢？

圆锥体积的那个1/3 如何在数学上证明可能要用微积分吧,讲一讲基本步骤就是为什么是1/3而不是1/4呢？
很简单,设圆锥的底面半径是R,高是H
以圆锥顶点为原点,以圆锥的中心线为x轴建立坐标系
则距离原点x处的截面半径是xR/H
圆锥的体积可用积分表示为
S=∫(0,H)π(xR/H)²dx,积分范围是(0,H)
=∫(0,H)πx²R²/H²dx
=[πx³R²/(3H²)](0,H)
=[πH³R³/(3H²)]-[π×0×R²/(3H²)]
=πR²H/3
即圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱体积的3分之1

设圆锥高为h，底部半径为r，把圆锥等分为k份，每份看做一个小圆柱。
则第n份圆柱的高为h/k, 半径为n*r/k。
则第k份圆柱的体积为h/k*pi*(n*r/k)^2=Pi*h*r^2*n^2/k^3
总的体积为Pi*h*r^2*(1+2^2+3^2+...+k^2)/k^3
而1+2^2+3^2+...+k^2=k*(k+1)*(2k+1)/6

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设圆锥高为h，底部半径为r，把圆锥等分为k份，每份看做一个小圆柱。
则第n份圆柱的高为h/k, 半径为n*r/k。
则第k份圆柱的体积为h/k*pi*(n*r/k)^2=Pi*h*r^2*n^2/k^3
总的体积为Pi*h*r^2*(1+2^2+3^2+...+k^2)/k^3
而1+2^2+3^2+...+k^2=k*(k+1)*(2k+1)/6
则总体积为Pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6
K越大，这个总体积越接近于圆锥的体积。
当K为无穷大时，则1/k等于0。即总体积为Pi*h*r^2/3,即为圆柱体积的三分之一。
或用微积分证明
：会问这个问题的大概肯定不会微积分，所以我说一下用祖暅原理的想法。
祖暅原理指：等高处横截面积恒相等的两个立体，其体积也必然相等。严格证明其实还是要用微积分，不过这个比较直观，拿来用吧。
圆锥的横截面是一个圆，用几何关系不难推出截面圆的半径与截面与顶点距离h、圆锥高H及底面大圆半径R的关系（请自己画个图做），设它为r，则易见r = Rh/H。
于是看出r与高h是一次关系，故可以构造一个三棱锥，使它与圆锥等高且截面积与之相等。问题转化为求三棱锥体积。
三棱锥体积可以用割补的方法来证明，为了简单，还可以用祖暅原理化为求底为直角三角形的直棱锥，在立方体上进行割补。就不详细写了。

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微积分的方法直接可以得到.看看<高等数学>就知道了.

好像有个什么定理的 是中国一个古代数学家提出的
好像是把横截面切成一层一层比较，

不用水，同种材料做成的圆锥圆柱（等底等高），称重也可以得出