作业帮设f(x)=3^x,且f(a+2)=18,g(x)=3^ax-4^x(x∈R).（1）求g（x）的解析式（2）判断函数g（x）在[0,1]上的单调性并用定义证明（3）若方程g（x）-b=0在[-2,2]上有两个不同的解,求实数b的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 20:21:23
![设f(x)=3^x,且f(a+2)=18,g(x)=3^ax-4^x(x∈R).（1）求g（x）的解析式（2）判断函数g（x）在[0,1]上的单调性并用定义证明（3）若方程g（x）-b=0在[-2,2]上有两个不同的解,求实数b的取值范围](/uploads/image/z/13606410-66-0.jpg?t=%E8%AE%BEf%28x%29%3D3%5Ex%2C%E4%B8%94f%28a%2B2%29%3D18%2Cg%28x%29%3D3%5Eax-4%5Ex%28x%E2%88%88R%29.%EF%BC%881%EF%BC%89%E6%B1%82g%EF%BC%88x%EF%BC%89%E7%9A%84%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%BC%8F%EF%BC%882%EF%BC%89%E5%88%A4%E6%96%AD%E5%87%BD%E6%95%B0g%EF%BC%88x%EF%BC%89%E5%9C%A8%5B0%2C1%5D%E4%B8%8A%E7%9A%84%E5%8D%95%E8%B0%83%E6%80%A7%E5%B9%B6%E7%94%A8%E5%AE%9A%E4%B9%89%E8%AF%81%E6%98%8E%EF%BC%883%EF%BC%89%E8%8B%A5%E6%96%B9%E7%A8%8Bg%EF%BC%88x%EF%BC%89-b%3D0%E5%9C%A8%5B-2%2C2%5D%E4%B8%8A%E6%9C%89%E4%B8%A4%E4%B8%AA%E4%B8%8D%E5%90%8C%E7%9A%84%E8%A7%A3%2C%E6%B1%82%E5%AE%9E%E6%95%B0b%E7%9A%84%E5%8F%96%E5%80%BC%E8%8C%83%E5%9B%B4)
设f(x)=3^x,且f(a+2)=18,g(x)=3^ax-4^x(x∈R).（1）求g（x）的解析式（2）判断函数g（x）在[0,1]上的单调性并用定义证明（3）若方程g（x）-b=0在[-2,2]上有两个不同的解,求实数b的取值范围
设f(x)=3^x,且f(a+2)=18,g(x)=3^ax-4^x(x∈R).
（1）求g（x）的解析式
（2）判断函数g（x）在[0,1]上的单调性并用定义证明
（3）若方程g（x）-b=0在[-2,2]上有两个不同的解,求实数b的取值范围
设f(x)=3^x,且f(a+2)=18,g(x)=3^ax-4^x(x∈R).（1）求g（x）的解析式（2）判断函数g（x）在[0,1]上的单调性并用定义证明（3）若方程g（x）-b=0在[-2,2]上有两个不同的解,求实数b的取值范围
(1) 令t=a+2 即f(t)=3^t=18 且 a=t-2
g(x)=3^ax-4^x
=3^(t-2)x-4^x
=(3^tx) / (3^2x)-4^x
=((3^t)^x) / (3^2x)-4^x
=18^x / 9^x-4^x
=2^x-4^x
所以g(x)=2^x-4^x
(2) 令t（x）=2^x,则 t(x)在[0,1]上单调递增,范围是[1,2]
g(x)=2^x-4^x=t（x）- (t（x）)^2 =t(x)*(1-t(x))
简化一下,g(t)=t-t^2 ,t∈[1,2]
这个是抛物线,开口向下,对称轴是直线 t=1/2
在 t∈[1,2] 区间是单调递减的,
综合t(x)在 X∈[[0,1]上单调递增,可以知道,
g(x)在X∈[[0,1] 上单调递减
（3） 直接利用（2）中 简化的结果,g(x)-b=t-t^2-b =-(t-1/2)^2-b+1/4
x∈[-2,2] 即t=2^x∈[1/4,4]有两个不同的解
故有：
-(1/4-1/2）^2-b+1/4