计算数列{(1-1/4)(1-1/9)(1-1/16)...[1-1/(n+1)^2]}的前4项的值并猜想通项公式，加以证明，用数学归纳法

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/06 19:08:02

$计算数列{(1-1/4)(1-1/9)(1-1/16)...[1-1/(n+1)^2]}的前4项的值并猜想通项公式，加以证明，用数学归纳法$

计算数列{(1-1/4)(1-1/9)(1-1/16)...[1-1/(n+1)^2]}的前4项的值并猜想通项公式，加以证明，用数学归纳法
计算数列{(1-1/4)(1-1/9)(1-1/16)...[1-1/(n+1)^2]}的前4项的值
并猜想通项公式，加以证明，用数学归纳法

计算数列{(1-1/4)(1-1/9)(1-1/16)...[1-1/(n+1)^2]}的前4项的值并猜想通项公式，加以证明，用数学归纳法
a1=(1-1/4)=3/4
a2=(1-1/4)(1-1/9)
=3/4*8/9
=1/3=4/12
a3=a2*(1-1/16)=1/3*15/16=5/16
a4=a3*(1-1/25)=5/16*24/25=3/10=6/20
所以通项从第二项开始猜测为分母=n+2
分子=4(n+1)
所以an=(n+2)/[4(n+1)],n>=2
a1=3/4
对于n=2显然成立
假设对于n=k成立
即ak=(k+2)/[4(k+1)]
n=k+1时
a(k+1)=ak*(1-1/(k+2)^2)
=(k+2)/[4(k+1)]*[(k+2)^2-1]/(k+2)^2
=(k+2)/[4(k+1)]*[(k+3)(k+1)]/(k+2)^2
=(k+3)/4(k+2)
=[(k+1)+2]/[4[(k+1)+1]]
所以对于任意自然数n>=2都有an=(n+2)/[4(n+1)]

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